题目

如图，抛物线与轴交于，与轴交于点．已知直线过两点． （1）求抛物线和直线的表达式； （2）点是抛物线上的一个动点， ①如图，若点在第一象限内，连接，交直线于点．设的面积为，的面积为，求的最大值； ②如图2，抛物线的对称轴与轴交于点，过点作，垂足为．点是对称轴上的一个动点，是否存在以点为顶点的四边形是平行四边形? 若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 答案：（1），；（2）①；②存在，点P的坐标为(2，)，点Q的坐标为(1，2)或(1，) 【解析】 （1）把A(-1，0)，B(3，0)代入可求得抛物线的表达式，再求得点C的坐标，把B(3，0)，C的坐标代入即可求解； （2）①设点D的坐标为(，)，利用待定系数法求得直线PA的表达式为，解方程，求得点P的横坐标为，利用平等线分线段成比例定理求得，得到，利用二次函数的性质即可求解； ②根据等腰直角三角形的性质求得点的坐标为(2，)，分当EF为边和EF为对角线时两种情况讨论，即可求解． 【详解】 （1）把A(-1，0)，B(3，0)代入得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为， 令，则， ∴点C的坐标为(0，3)， 把B(3，0)，C(0，3)代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为； （2）①∵PA交直线BC于点， ∴设点D的坐标为(，)， 设直线PA的表达式为， ∴， 解得：， ∴直线PA的表达式为， ∴， 整理得：， 解得：(不合题意，舍去)， ∴点D的横坐标为，点P的横坐标为， 分别过点D、P作x轴的垂线，垂足分别为M、N，如图： ∴DM∥PN，OM=，ON=，OA=1， ∴ ， ∵， ∴当时，分子取得最大值，即有最大值，最大值为； ②存在，理由如下： 作于G，如图， ∵的对称轴为：， ∴OE=1， ∵B(3，0)，C(0，3) ∵OC=OB=3，∠OCB=90， ∴△OCB是等腰直角三角形， ∵∠EFB=90，BE=OB-OE=2， ∴△OCB是等腰直角三角形， ∴EG=GB=EG=1， ∴点的坐标为(2，)， 当EF为边时， ∵EFPQ为平行四边形， ∴QE=PF，QE∥PF∥轴， ∴点P的横坐标与点F的横坐标同为2， 当时，， ∴点P的坐标为(2，)， ∴QE=PF=3-1=2， 点Q的坐标为(1，2)； 当EF为对角线时，如图， ∵四边形PEQF为平行四边形， ∴QE=PF，QE∥PF∥轴， 同理求得：点P的坐标为(2，)， ∴QE=PF=3-1=2， 点Q的坐标为(1，)； 综上，点P的坐标为(2，)，点Q的坐标为(1，2)或(1，)； 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的解法，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，平行线公线段成比例定理，等高的三角形的面积的比等于底边的比，二次函数的性质以及平行四边形的对边的判定和性质，（3）注意要分AB是对角线与边两种情况讨论．

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