题目

如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5， ∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点. (1)证明：CD⊥平面PAE； (2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等， 求四棱锥P－ABCD的体积. 答案：解：方法一　(1)证明　如图，连接AC.由AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90° 得AC＝5.[1分]又AD＝5，E是CD的中点，所以CD⊥AE. [2分] 因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD. [4分] 而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE. [5分] (2)过点B作BG∥CD，分别与AE，AD相交于点F，G，连接PF. 由(1)CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE. 于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BG⊥AE.  [6分] 由PA⊥平面ABCD知，∠PBA为直线PB与平面ABCD所成的角.     [7分] 由题意得∠PBA＝∠BPF， 因为sin∠PBA＝，sin∠BPF＝，所以PA＝BF. 由∠DAB＝∠ABC＝90°知，AD∥BC. 又BG∥CD，所以四边形BCDG是平行四边形. 故GD＝BC＝3.于是AG＝2. 在Rt△BAG中，AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，所以 BG＝＝2，BF＝＝＝.于是PA＝BF＝.    [10分] 又梯形ABCD的面积为S＝×(5＋3)×4＝16， 所以四棱锥P－ABCD的体积为V＝×S×PA＝×16×＝.      [12分] 方法二　如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立 空间直角坐标系.设PA＝h， 则A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,3,0)，D(0,5,0)，E(2,4,0)，P(0,0，h).  [2分] (1)证明　易知＝(－4,2,0)，＝(2,4,0)，＝(0,0，h). 因为·＝－8＋8＋0＝0，·＝0， [4分] 所以CD⊥AE，CD⊥AP. 而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线， 所以CD⊥平面PAE.                                     [5分] (2)由题设和(1)知，，分别是平面PAE，平面ABCD的法向量.       [6分] 而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等， 所以|cos〈，〉|＝|cos〈，〉|， 即＝.                                               [8分] 由(1)知，＝(－4,2,0)，＝(0,0，－h)， 又＝(4,0，－h)， 故＝.解得h＝.        [10分] 又梯形ABCD的面积为S＝×(5＋3)×4＝16， 所以四棱锥P－ABCD的体积为V＝×S×PA＝×16×＝.    [12分]

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