题目

已知函数的定义域为，且对任意实数恒有（且）成立. （1）求函数的解析式； （2）讨论在上的单调性，并用定义加以证明. 答案：（1）（2）当时， 在上为单调减函数；当时， 在上为单调增函数. 解：（1）∵对任意实数恒有： ①， 用替换①式中的有： ②， ①×②—②得： ， （2）当时，函数为单调减函数，函数也为单调减函数， ∴在上为单调减函数. 当时，函数为单调增函数，函数也为单调增函数， ∴在上为单调增函数. 证明：设任意且，则 ，∵， ， ①当时，则，∴ ∴在上是减函数. ②当时，则，∴ ∴在上是增函数. 综上：当时， 在上为单调减函数； 当时， 在上为单调增函数.

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