题目

已知函数f（x）=xlnx． （Ⅰ）求f（x）的最小值； （Ⅱ）若对所有x≥1都有f（x）≥ax﹣1，求实数a的取值范围． （Ⅲ）若关于x的方程f（x）=b恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围． 答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值； （Ⅱ）a≤lnx+（x≥1）恒成立，令g（x）=lnx+，则a≤g（x）min（x≥1）恒成立；根据函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出a的范围即可； （Ⅲ）问题转化为y=b和y=f（x）在（0，+∞）有两个不同的交点，根据函数的单调性求出b的范围即可． 【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，+∞）， f′（x）=1+lnx， 令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜， 故f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增， 故f（x）min=f（）=ln=﹣； （Ⅱ）∵f（x）=xlnx， 当x≥1时，f（x）≥ax﹣1恒成立 ⇔xlnx≥ax﹣1（x≥1）恒成立 ⇔a≤lnx+（x≥1）恒成立， 令g（x）=lnx+，则a≤g（x）min（x≥1）恒成立； ∵g′（x）=﹣=， ∴当x≥1时，f′（x）≥0， ∴g（x）在． （Ⅲ）若关于x的方程f（x）=b恰有两个不相等的实数根， 即y=b和y=f（x）在（0，+∞）有两个不同的交点， 由（Ⅰ）0＜x＜时，f（x）＜0， f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增， f（x）min=f（）=ln=﹣； 故﹣＜b＜0时，满足y=b和y=f（x）在（0，+∞）有两个不同的交点， 即若关于x的方程f（x）=b恰有两个不相等的实数根，则﹣＜b＜0．

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