题目

如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面底面，，，为的中点． （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若为的中点，在棱上是否存在点，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 答案：【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，． 【解析】（1）因为平面底面，， 所以底面，所以， 又底面为正方形，所以，（2分） 因为,所以平面， 又平面，所以平面平面．（4分） （2）易知，，互相垂直， 如图，以为原点建立空间直角坐标系， 不妨设，可得，，，， 所以，，（5分） 因为为的中点，所以，所以， 设为平面的法向量， 则，即，令，可得，， 所以为平面的一个法向量，（6分） 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为．（8分） （3）由（2）可得，，，， 假设在棱上存在点，使得，设， 故，（10分） 由，可得， 所以，解得，此时． 故在棱上存在点，使得，．

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