题目

设函数f（x）=log4（4x+1）+ax（a∈R）． （1）若f（x）是定义在R上的偶函数，求a的值； （2）若关于x的不等式f（x）+f（﹣x）≤2log4m对任意的x∈[0，2]恒成立，求正实数m的取值范围． 答案：【考点】函数恒成立问题． 【专题】函数思想；换元法；转化法；函数的性质及应用． 【分析】（1）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，则f（x）=f（﹣x）恒成立，运用对数的运算性质，化简进而可得a值； （2）若不等式f（x）+f（﹣x）≤2log4m对任意x∈[0，2]恒成立，化简即有4x+1≤m2x对任意的x∈[0，2]恒成立，令，则t∈[1，4]，可得t2﹣mt+1≤0在[1，4]恒成立，由二次函数的性质，进而可得实数m的取值范围． 【解答】解：（1）∵f（x）是定义在R上的偶函数， ∴f（x）=f（﹣x）对任意x∈R恒成立， ∴， ∴， ∴； （2）∵f（x）+f（﹣x）≤2log4m， ∴， ∴对任意的x∈[0，2]恒成立， 即4x+1≤m2x对任意的x∈[0，2]恒成立， 令，则t∈[1，4]， ∴t2﹣mt+1≤0在[1，4]恒成立， ∴，∴． 【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，恒成立问题，注意运用定义法和换元法，同时考查指数函数和对数函数的性质及运用，难度中档． 　

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