题目

四面体ABCD中,AD=BC=a,　BD=AC=b,　AB=CD=c,以它们为棱,相应两个面为面的二面角依次为α、β、γ.       (1)求证:;       (2)求四面体ABCD的体积;       (3)若a=5,b=4,c=6,求α的正弦值;       (4)求AD与平面BCD所成的角〔条件同(3)〕;       (5)条件同(3),求四面体的外接球半径. 答案：(1)证明:作CE⊥AD交AD于E. 作CH⊥面ABD交ABD于H.连结EH,记CH长为h,CE为ha.∵CH⊥面ABD,CE⊥AD,∴HE⊥AD,sinα=.又a·ha·=S,∴.为常量.同理,.∴.(2)解析：过点C作GF∥DB.C为GF中点,连结GD并延长至E.DE=DG.连结EF、AE、AG、AF.∵AC=GF,∴AG⊥AF.同理可得EA⊥FA,AE⊥AG.设AE=x,AF=z,AG=y.解得∴VE—AGF=xyz,VA—DBC=VE—AGF,VABCD=. (3)解析：V= =×5×3×3=.cosθ=.∴S=sinθab=××5×4=.∴d=.∴sinα=.(4)解析：设所成角为γ.sinγ=.(5)解析：把四面体ABCD补成长方体,设其边长为x、y、z,则有x2+y2=a2,                  ①y2+z2=b2,                  ②z2+x2=c2.                  ③(①+②+③),得(2R)2=a2+b2+c2.∴R=.

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