题目

如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D． （1）求证：△DAC∽△DBA； （2）过点C作⊙O的切线CE交AD于点E，求证：CE=AD； （3）若点F为直径AB下方半圆的中点，连接CF交AB于点G，且AD=6，AB=3，求CG的长． 答案：解：（1）∵AB是⊙O直径， ∴∠ACD=∠ACB=90°， ∵AD是⊙O的切线， ∴∠BAD=90°， ∴∠ACD=∠DAB=90°， ∵∠D=∠D， ∴△DAC∽△DBA； （2）∵EA，EC是⊙O的切线， ∴AE=CE（切线长定理）， ∴∠DAC=∠ECA， ∵∠ACD=90°， ∴∠ACE+∠DCE=90°，∠DAC+∠D=90°， ∴∠D=∠DCE， ∴DE=CE， ∴AD=AE+DE=CE+CE=2CE， ∴CE=AD； （3）如图，在Rt△ABD中，AD=6，AB=3， ∴tan∠ABD==2， 过点G作GH⊥BD于H， ∴tan∠ABD==2， ∴GH=2BH， ∵点F是直径AB下方半圆的中点， ∴∠BCF=45°， ∴∠CGH=∠CHG﹣∠BCF=45°， ∴CH=GH=2BH， ∴BC=BH+CH=3BH， 在Rt△ABC中，tan∠ABC==2， ∴AC=2BC， 根据勾股定理得，AC2+BC2=AB2， ∴4BC2+BC2=9， ∴BC=， ∴3BH=， ∴BH=， ∴GH=2BH=， 在Rt△CHG中，∠BCF=45°， ∴CG=GH=．

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