题目

若函数f(x)=x3-ax2+(a-1)x+1在区间(1，4)内为减函数，且在区间(6，+∞)内为增函数，求实数a的取值范围. 答案：答案：本小题考查导数的运用,利用导数研究函数的单调性及含参数问题的讨论.[解法一]f′(x)=x2-ax+(a-1).由f′(x)=0,得x1=1或x2=a-1.  当a-1≤1,即a≤2时,x∈(1,+∞)时,f′(x)＞0.∴f(x)在(1,+∞)内递增,不合题意.  当a-1＞1,即a＞2时,x∈(1,a-1)时,f′(x)＜0；x∈(a-1,+∞)时,f′(x)＞0,∴f(x)在(1,a-1)内递减；在(a-1,+∞)内递增.  (9分)又由已知得x∈(1,4)时,f′(x)＜0；x∈(6,+∞)时f′(x)＞0.∴4≤a-1≤6,即5≤a≤7.  [解法二]f′(x)=x2-ax+(a-1),其图像开口向上,对称轴方程为x=由f(x)在(1,4)内为减函数知f′(x)≤0对x∈[1,4]恒成立.∴解得a≥5.  由f(x)在(6,+∞)内为增函数知f′(x)≥0对x∈[6；+∞)恒成立.∴    解得a≤7.综上,得5≤a≤7.

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