题目

（本小题满分12分） 如图，棱柱的所有棱长都为2，则棱与底面所成的角为，平面为的中点. （1）证明：； （2）证明：平面； （3）求二面角的余弦值. 答案：解（1）因为棱柱的所有棱长都为2，所以四边形为菱形，.      ……1分 又平面平面， 所以. 又因为平面， 所以平面， 因为平面， 所以.                    ……………………3分 （2）连结因为四边形为菱形，， 所以是的中点 又因为点为的中点， 所以在中，， 因为平面，平面， 所以平面.         …………………………6分 （3）以为坐标系的原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.因为侧棱与底面所成角为，平面.      所以，在中，可得，      在中，.      .    ………………8分      设平面的法向量为         所以         因为=（-1，0，），.              ， 可设， 又因为平面，所以平面的法向量为 ，        ………………11分 因为二面角为锐角， 故二面角的余弦值是.    ……………………12分

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