题目

已知点H(-3,0)，点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足·=0,=-.(1)当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；(2)过点T(-1,0)作直线l与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E(x0,0)，使得△ABE为等边三角形，求x0的值. 答案：解：(1)设点M(x,y),由=-P(0,-),Q(,0).    由·=0y2=4x.    ∵点Q在x轴的正半轴上，x＞0,    ∴点M的轨迹C是以(0,0)为顶点，以(1,0)为焦点的抛物线(除去原点).    (2)设直线l:y=k(x+1)(k≠0),代入y2=4xk2x2+2(k2-2)x+k2=0.    设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=1.    ∴线段AB垂直平分线的方程为y-=-(x-).    令y=0x0=+1点E(+1,0).    ∵△ABC为正三角形，∴点E到直线AB的距离为|AB|,    点E到直线AB的距离为.    又|AB|==·,    ∴=k=±,x0=.

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