题目

如图，椭圆x2+=1的左、右顶点分别为A、B，双曲线Γ以A、B为顶点，焦距 为2，点P是Γ上在第一象限内的动点，直线AP与椭圆相交于另一点Q，线段AQ的中点为M，记直线AP的斜率为k，O为坐标原点． （1）求双曲线Γ的方程； （2）求点M的纵坐标yM的取值范围； （3）是否存在定直线l，使得直线BP与直线OM关于直线l对称？若存在，求直线l方程，若不存在，请说明理由． 答案：解：（1）由题意，a=1，c=，b=2，∴双曲线Γ的方程=1； （2）由题意，设P（x1，y1），Q（x2，y2）， 直线AP的方程y=k（x+1）（0＜k＜2），代入椭圆方程，整理得（4+k2）x2+2k2x+k2﹣4=0 ∴x=﹣1或x2=，∴Q（，），M（﹣，） ∴yM==在（0，2）上单调递增，∴yM∈（0，1） （3）由题意，kAP•kBP==4，同理kAP•kOM=﹣4，∴kOM+kBP=0， 设直线OM：y=k′x，则直线BP：y=﹣k′（x﹣1），解得x=， ∵kOM+kBP=0，∴直线BP与OM关于直线x=对称．

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