题目

（本小题满分12分） 已知、分别是直线和上的两个动点，线段的长为，是的中点. (1) 求动点的轨迹的方程； (2) 过点作与轴不直的直线，交曲线于、两点,若在线段上存在点，使得以、为邻边的平行四边形是菱形，试求的取值范围. 答案：解：⑴设 ∵是线段的中点，∴                  (2分) ∵||=，∴，∴. 化简得点的轨迹的方程为.　　　　　　　　　　　　　　　(5分) ⑵设，代入椭圆，得 ，∴，∴.  (7分) ∴中点的坐标为. ∵以、为邻边的平行四边形是菱形，∴， ∴，即.　　　　　　　　　　 　　　　　  　(9分) ∵，∴.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(11分) 又点在线段上，∴. 综上，.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(12分)

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