题目

在四棱锥中，平面，，底面是梯形， ∥，，．    （Ⅰ）求证：平面平面；    （Ⅱ）设为棱上一点，， 试确定的值使得二面角为．   答案：【解析】（Ⅰ）∵平面，∴， 如图，在梯形中，过点作于，则，∴， ∵， ∴， ∴， ∴.  ∴， ∵，， ∴平面，  ∴， 又∵，∴平面，  又∵平面， ∴平面平面. （Ⅱ）法一：过点作∥交于点，过点作于点，连， 由（Ⅰ）可知平面，∴平面， ∴，∵， ∴平面，∴， ∴是二面角的平面角， ∴，∵，  ∴，  ∵∥，  ∴，  ∴，由（Ⅰ）知，∴， 又∵，∥， ∴，  ∴， ∵，∴. 法二：以为原点，，，所在直线为轴建立空间直角坐标系(如图)， 则，，，，令， 则，，  ∵， ∴， ∴，    ∵平面， ∴是平面的一个法向量，设平面的法向量为，则 ，即  即， 不妨令，得， ∵二面角为，∴， 解得， ∵在棱上，  ∴，   ∴．

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