题目

如图，四棱锥中， ,，侧面SAB为等边三角形，. (1)证明：平面SAB； (2)求AB与平面SBC所成角的余弦值.             答案：解法一：(Ⅰ)取AB中点，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2，连结SE，则， . 又SD=1,故,所以为直角. …………3分 由,,, 得平面SDE,所以. SD与两条相交直线AB、SE都垂直. 所以平面SAB.     ………………6分 另解:由已知易求得,于是.可知,同理可得,又.所以平面SAB  ……………6分 (Ⅱ)由平面知，平面平面. 作,垂足为,则平面ABCD,. 作,垂足为,则. 连结SG.则. 又, 故平面,平面平面SFG            .……9分 作,H为垂足,则平面SBC. ,即到平面SBC的距离为. 由于,所以平面,到平面的距离也为. 设AB与平面SBC所成的角为,则,                 ……12分 解法二：以C为原点,射线CD为轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 设,则、. 又设,则. (Ⅰ) ，, 由得, 故.由得, 又由得,。 即,故.       ………………3分 故, ，， ， ，，故,又, 所以平面SAB.                      ………………6分 (Ⅱ)设平面的法向量, 则，. 又, 故                    ………………9分 取得,又 设AB与平面SBC所成的角为,则,            ……12分

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