题目

（本小题满分12分） 已知函数。 （Ⅰ）求函数的定义域，并判断的单调性； （Ⅱ）若； （Ⅲ）当（为自然对数的底数）时，设，若函数的极值存在，求实数的取值范围以及函数的极值。 答案：（Ⅰ） 当 （Ⅱ） （Ⅲ）时，函数有极值； 当时的极大值为，的极小值为 当时，的极大值为 解析: 本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运算能力。 （Ⅰ）由题意知 当 当 当….（4分） （Ⅱ）因为 由函数定义域知>0,因为n是正整数，故0<a<1. 所以 （Ⅲ） 令 当m=0时，有实根，在点左右两侧均有故无极值 当时，有两个实根 当x变化时，、的变化情况如下表所示： + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 的极大值为，的极小值为 当时，在定义域内有一个实根，  同上可得的极大值为 综上所述，时，函数有极值； 当时的极大值为，的极小值为 当时，的极大值为

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