题目
如图,⊙O是△ABC的外接圆,P是⊙O外的一点,AM是⊙O的直径,∠PAC=∠ABC (1) 求证:PA是⊙O的切线; (2) 连接PB与AC交于点D,与⊙O交于点E,F为BD上的一点,若M为的中点,且∠DCF=∠P,求证: = = .
答案:证明:(1) 连接CM ∵∠PAC=∠ABC,∠M=∠ABC ∴∠PAC=∠M ∵AM为直径 ∴∠M+∠MAC=90° ∴∠PAC+∠MAC=90° 即:∠MAP=90° ∴MA⊥AP ∴PA是⊙O的切线 (2) 连接AE ∵M为中点,AM为⊙O的直径 ∴AM⊥BC ∵AM⊥AP ∴AP∥BC ∴△ADP∽△CDB ∴ = ∵AP//BC ∴∠P=∠CBD ∵∠CBD=∠CAE ∴∠P=∠CAE ∵∠P=∠DCF ∴∠DCF=∠CAE ∵∠ADE=∠CDF ∴△ADE∽△CDF ∴ = ∴ = =