题目

如图，⊙O是△ABC的外接圆，P是⊙O外的一点，AM是⊙O的直径，∠PAC=∠ABC (1) 求证：PA是⊙O的切线；   (2) 连接PB与AC交于点D，与⊙O交于点E，F为BD上的一点，若M为的中点，且∠DCF=∠P，求证： =  =  . 答案：证明：(1) 连接CM ∵∠PAC=∠ABC,∠M=∠ABC ∴∠PAC=∠M ∵AM为直径 ∴∠M+∠MAC=90° ∴∠PAC+∠MAC=90° 即：∠MAP=90° ∴MA⊥AP ∴PA是⊙O的切线  (2) 连接AE ∵M为中点，AM为⊙O的直径 ∴AM⊥BC ∵AM⊥AP ∴AP∥BC ∴△ADP∽△CDB ∴ =   ∵AP//BC ∴∠P=∠CBD ∵∠CBD=∠CAE ∴∠P=∠CAE ∵∠P=∠DCF ∴∠DCF=∠CAE ∵∠ADE=∠CDF ∴△ADE∽△CDF ∴ =   ∴ =  =  

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