题目

已知椭圆C：(a＞b＞0)的左准线恰为抛物线E：y2 = 16x的准线，直线l：x + 2y – 4 = 0与椭圆相切．（1）求椭圆C的方程；（2）如果椭圆C的左顶点为A，右焦点为F，过F的直线与椭圆C交于P、Q两点，直线AP、AQ与椭圆C的右准线分别交于N、M两点，求证：四边形MNPQ的对角线的交点是定点． 答案：(Ⅰ)    (Ⅱ) 椭圆的右顶点 解析:（1）由题知抛物线y2 = 16x的准线方程为x = – 4，这也是椭圆的左准线方程．设椭圆的右焦点为F(c，0)，其中c =，则，即a2 = 4c．① 由消去x，得． 由于直线x + 2y – 4 = 0与椭圆C相切，所以 ． 即4b2 + a2 – 16 = 0，所以4(a2 – c2) + a2 – 16 = 0， 整理得5a2 –4c2 – 16 = 0．                               ② 将①代入②得5×4c – 4c2 – 16 = 0，即c2 – 5c + 4 = 0，解得c = 1或4． 由于c＜a＜． 所以c = 1．所以a2 = 4，b2 = 3．所以椭圆C的方程为． 5分 （2）由（1）知，A(–2，0)，F(1，0)，椭圆的右准线方程为x = 4． 根据椭圆的对称性，当直线PQ⊥x轴时，四边形MNPQ是等腰梯形，对角线PM、QN的交点在x轴上．此时，直线PQ的方程为x = 1． 由得不妨取P(1，)，Q(1，–)， 故直线AP的方程为y =，将x = 4代入，得N(4，3)， 所以直线QN的方程为．令y = 0，得x = 2，即直线QN与x轴的交点为R(2，0)， 此点恰为椭圆的右顶点．……8分下面只要证明，在一般情况下Q、N、R三点共线即可． 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，N(4，y3)，M(4，y4)，直线PQ的方程为x = my + 1． 由消去x得． 所以．因为A(–2，0)，P(x1，y1)，N(4，y3)三点共线， 所以与共线，所以(x1 + 2)y3 = 6y1，即y3 =． 由于， 所以= ==． 所以、共线，即Q、N、R三点共线．、……12分同理可证，P、M、R三点共线． 所以，四边形MNPQ的对角线的交点是定点，此定点恰为椭圆的右顶点．……13分

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