题目

如图，在正方形ABCD中，过B作一直线与CD相交于点E，过A作AF垂直BE于点F，过C作CG垂直BE于点G，在FA上截取FH=FB，再过H作HP垂直AF交AB于P．若CG=3．则△CGE与四边形BFHP的面积之和为　　　　　　． 　 答案：　9　． 【考点】正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质． 【专题】综合题． 【分析】由ABCD为正方形，根据正方形的性质得到AB=BC，∠ABC=90°，即∠CBG+∠ABF=90°，又根据CG与BE垂直得到∠BCG+∠CBG=90°，根据同角的余角相等得到一对角相等，又根据一对直角相等，利用“AAS”即可得到三角形BCG与三角形FBA全等，根据全等三角形的对应边相等得到AF与BG相等，又因为FH=FB，从而得到AH=FG，然后由垂直得到一对直角相等，加上一个公共角，得到三角形APH与三角形ABF相似，根据相似得比例，设AH=FG=x，用x表示出PH，由四边形PHFB一组对边平行，另一组对边不平行得到此四边形为梯形，根据梯形的面积公式，由上底PH，下底为BF=3，高FH=3，表示出梯形的面积；然后在三角形BCG与三角形ECG中，根据同角的余角相等，再加上一对直角得到两三角形相似，根据相似得比例，用含x的式子表示出GE，由CG=3，利用表示出的GE，利用三角形的面积公式表示出直角三角形CGE的面积，把表示出的两面积相加，化简即可得到值． 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=BC，∠ABC=90°，即∠CBG+∠ABF=90°， 又CG⊥BE，即∠BGC=90°， ∴∠BCG+∠CBG=90°， ∴∠ABF=∠BCG， 又AF⊥BG， ∴∠AFB=∠BGC=90°， ∴△ABF≌△BCG， ∴AF=BG，BF=CG=FH=3， 又∵FH=BF， ∴AH=FG，设AH=FG=x， ∵PH⊥AF，BF⊥AF， ∴∠AHP=∠AFB=90°，又∠PAH为公共角， ∴△APH∽△ABF， ∴=，即PH=， ∵PH∥BF，BP不平行FH， ∴四边形BFHP为梯形，其面积为=+； 又∵∠BCG+∠ECG=90°，∠ECG+∠BEC=90°， ∴∠BCG=∠BEC，又∠BGC=∠CGE=90°， ∴△BCG∽△CEG， ∴=，即GE=，故Rt△CGE的面积为×3×， 则△CGE与四边形BFHP的面积之和为++=+=9． 故答案为：9 【点评】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质，此题的综合性比较强，常常综合了多个考点和数学思想方法，因而解答时需“分解题意”，即将一个大问题分解为一个一个的小问题，从而解决问题．

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