题目

如下图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点.（1）求证：AM∥平面BDE；（2）求证：AM⊥平面BDF；（3）求二面角A-DF-B的大小. 答案：证明：（1）建立如下图所示的空间直角坐标系.设AC∩BD=N，连接NE，则点N、E的坐标分别是(,,0)、（0，0，1）,∴=(-,-,1).又点A、M的坐标分别是(,,0)、(,,1),∴=(-,-,1).∴=且与不共线.∴NE∥AM.又∵NE平面BDE，AM平面BDE，∴AM∥平面BDE；（2）=(-,-,1)，∵D（2，0，0），F（，，1），∴=(0,,1).∴·=0.∴⊥.同理⊥.又DF∩BF=F,∴AM⊥平面BDF.解析：（3）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∩AD=A,∴AB⊥平面ADF.∴=(-,0,0)为平面DAF的法向量.∵·=(-,-,1)·(-,,0)=0,·=(-,-,1)·(,,1)=0得⊥,⊥,∴为平面BDF的法向量.∴cos(,)= .∴与的夹角是60°.即所求二面角A-DF-B的大小是60°.

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