题目

(本小题满分14分) 已知函数的极值点为和． （Ⅰ）求实数，的值； （Ⅱ）试讨论方程根的个数； （Ⅲ）设，斜率为的直线与曲线交于 两点，试比较与的大小，并给予证明． 答案：本题考查函数、导数等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、分类与整合思想、数形结合思想．满分14分. 解：（Ⅰ），，……………… 1分 由的极值点为和， ∴的根为和， ∴解得                   ……………………3分 （Ⅱ）由得， ，设， . ，      ………………5分 当变化时，与的变化情况如下表： － + 单调递减 单调递增 由此得，函数的单调减区间为，单调增区间为.…6分 ∴， 且当正向趋近于0时，趋近于， 当趋近于时，趋近于. ………………7分 ∴当时，方程只有一解； 当时，方程有两解； 当时，方程无解.                         ………………9分 （Ⅲ）.                                   ……………10分 证明：由（Ⅰ）得， ∴，. 要证，即证， 只需证，（因为） 即证．只需证．（*）…………………12分 设 ， ， ∴在单调递增，， ∴不等式（*）成立. ∴．                                 ………………… 14分

查看本题答案和解析