题目

已知a,b,c是三个非零向量,试判断下列命题的真假.       (1)a·b=|a||b|是a∥b的充要条件；       (2)|a·b|=|a||b|是a与b共线的充要条件；       (3)|a|=|b|且|a·c|=|b·c|是a∥b的必要不充分条件；       (4)|a|=|b|且a·c=b·c是a∥b的充分不必要条件.       答案：解析:对这四个命题进行判断时,其理论依据是向量的数量积:a·b=|a||b|cosθ(θ是a,b的夹角)及向量平行的充要条件.       (1)∵a·b=|a||b|cosθ,a·b=|a||b|,    ∴cosθ=1.       ∴a与b的夹角为0°,即a与b同向.∴a∥b.       但反过来,由a∥b可推出a与b同向或反向,       而当a与b反向时,a与b的夹角为180°,       这时a·b=-|a||b|,它与条件a·b=|a||b|不相等,       故命题(1)不成立.       (2)∵|a·b|=||a||b|cosθ|=|a||b||cosθ|,       又∵|a·b|=|a||b|,∴|cosθ|=1.       ∴cosθ=±1.∴θ=0°或180°.       ∴a与b同向或反向.    ∴a∥b.       而以上几步均可逆,故命题(2)为真.       (3)∵a·c=|a||c|cosα(α是a,c的夹角),b·c=|b||c|cosβ(β是b,c的夹角),       又∵|a|=|b|且|a·c|=|b·c|,  ∴|cosα|=|cosβ|.       由它推不出α=β,故(3)为假命题.       (4)∵a·c=b·c,       ∴|a||c|cosα=|b||c|cosβ(其中α是a,c的夹角,β是b,c的夹角).       又∵|a|=|b|,∴cosα=cosβ.       ∴α=β(∵α,β∈［0°,180°］).       ∴a与b同向,故a∥b.       但是反过来,由a∥b却推不出|a|=|b|,故命题为真.

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