题目

如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，BD=DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点． （1）求证：AB是⊙O的直径； （2）判断DE与⊙O的位置关系，并加以证明； （3）若⊙O的半径为3，∠BAC=60°，求DE的长． 答案： （1）证明：连接AD， ∵AB=AC，BD=DC， ∴AD⊥BC. ∴∠ADB=90°. ∴AB为圆O的直径. （2）DE与⊙O相切，理由为： 证明：连接OD. ∵O，D分别为AB，BC的中点， ∴OD为△ABC的中位线. ∴OD∥AC. ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD. ∵OD为圆的半径， ∴DE与⊙O相切. （3）解：∵AB=AC，∠BAC=60°， ∴△ABC为等边三角形. ∴AB=AC=BC=6. 设AC与⊙O交于点F，连接BF， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AFB=∠DEC=90°. ∴AF=CF=3，DE∥BF. ∵D为BC中点， ∴E为CF中点，即DE为△BCF中位线. 在Rt△ABF中，AB=6，AF=3， 根据勾股定理得：BF===3. ∴DE=BF=.

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