题目

如图，一条光纤线路从A地到B地需要经过C地，图中AC=40千米， ∠CAB=30°，∠CBA=45°，因线路整改需要，将从A地到B地之间铺设一条笔直的光纤线路． （1）求新铺设的光纤线路AB的长度；（结果保留根号） （2）问整改后从A地到B地的光纤线路比原来缩短了多少千米？（结果保留根号） 答案：【分析】（1）过C作CD⊥AB，交AB于点D，利用∠CAD的正弦和余弦分别求出CD、AD，再利用∠CBA的正切求出BD，然后根据AB=AD+BD计算即可得解； （2）利用勾股定理列式求出BC，然后列式计算即可得解． 【解答】解：（1）过C作CD⊥AB，交AB于点D， 在Rt△ACD中，CD=AC•sin∠CAD=AC•sin30°=40×=20（千米）， AD=AC•cos∠CAD=AC•cos30°=40×=20（千米）， 在Rt△BCD中，BD====20（千米）， ∴AB=AD+DB=20+20=20（+1）（千米）， 则新铺设的光纤线路AB的长度20（+1）（千米）； （2）在Rt△BCD中，根据勾股定理得：BC===20（千米）， 所以AC+CB﹣AB=40+20﹣20（+1）=20（1+﹣）（千米）， 则整改后从A地到B地的光纤线路比原来缩短了20（1+﹣）千米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，主要利用了锐角三角函数，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．

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