题目

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y=2x-4，设圆C的半径为1，圆心在直线l上. 　(变式) (1)若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程； (2)若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围. 答案： (1)由得圆心C为(3，2)， 因为圆C的半径为1， 所以圆C的方程为(x-3)2+(y-2)2=1. 由题知切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为y=kx+3，即kx-y+3=0. 所以=1，所以|3k+1|=， 所以2k(4k+3)=0，所以k=0或k=-. 所以所求圆C的切线方程为y=3或y=-x+3， 即y=3或3x+4y-12=0. (2)因为圆C的圆心在直线l：y=2x-4上， 所以设圆心C为(a，2a-4)， 则圆C的方程为(x-a)2+[y-(2a-4)]2=1. 又因为MA=2MO，所以设点M(x，y)， 则=2，整理得 x2+(y+1)2=4，设为圆D. 所以点M应该既在圆C上又在圆D上， 即圆C和圆D有交点. 所以|2-1|≤≤|2+1|， 由5a2-12a+8≥0得a∈R； 由5a2-12a≤0，得0≤a≤. 终上所述，实数a的取值范围为[0，].

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