题目

两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A、B旋转，如果两条平行直线间的距离为d，求： (1)d的变化范围； (2)当d取最大值时，两条直线的方程． 答案：解：(1)方法1：①当两条直线的斜率不存在时，即两直线分别为x＝6和x＝－3，则它们之间的距离为9. ②当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为 l1：y－2＝k(x－6)， l2：y＋1＝k(x＋3)， 即l1：kx－y－6k＋2＝0，l2：kx－y＋3k－1＝0. ∴d＝＝， 即(81－d2)k2－54k＋9－d2＝0. ∵k∈R，且d≠9，d>0， ∴Δ＝542－4(81－d2)(9－d2)≥0， 即0<d≤3且d≠9. 综合①②可知，所求的d的变化范围为(0,3]． 图4 方法2：如图4所示， 显然有0<d≤|AB|. 而|AB|＝ ＝3. 故所求的d的变化范围为(0,3]． (2)由图4可知，当d取最大值时，两直线垂直于AB. 而kAB＝＝， ∴所求的直线的斜率为－3. 故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.

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