题目

如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE． （1）求证：AC平分∠DAB； （2）求证：△PCF是等腰三角形； （3）若tan∠ABC=，BE=7，求线段PC的长． 答案：解：（1）∵PD切⊙O于点C， ∴OC⊥PD． （1分） 又∵AD⊥PD， ∴OC∥AD． ∴∠ACO=∠DAC． 又∵OC=OA， ∴∠ACO=∠CAO， ∴∠DAC=∠CAO， 即AC平分∠DAB．（3分）   （2）∵AD⊥PD， ∴∠DAC+∠ACD=90°． 又∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°． ∴∠PCB+∠ACD=90°， ∴∠DAC=∠PCB． 又∵∠DAC=∠CAO， ∴∠CAO=∠PCB．…（4分） ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACF=∠BCF， ∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF， ∴∠PFC=∠PCF，…（5分） ∴PC=PF， ∴△PCF是等腰三角形．…（6分）   （3）连接AE． ∵CE平分∠ACB， ∴=， ∴． ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AEB=90°． 在Rt△ABE中，．        （7分） ∵∠PAC=∠PCB，∠P=∠P， ∴△PAC∽△PCB，（8分） ∴． 又∵tan∠ABC=， ∴， ∴． 设PC=4k，PB=3k，则在Rt△POC中，PO=3k+7，OC=7， ∵PC2+OC2=OP2， ∴（4k）2+72=（3k+7）2， ∴k=6 （k=0不合题意，舍去）． ∴PC=4k=4×6=24．             （10分）

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