题目

证明函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1］上是增函数. 答案：思路分析:证明本例所依据的大前提是增函数的定义,即函数满足:在给定区间内任取自变量的两个值x1,x2,若x1＜x2,则有f(x1)＜f(x2).小前提是f(x)=-x2+2x,x∈(-∞,1］满足函数的定义,这是证明本例的关键.证明:任取x1,x2∈(-∞,1］,且x1＜x2,f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1)-(-x22+2x2)=(x2-x1)(x2+x1-2).∵x1＜x2,∴x2-x1＞0;∵x1,x2≤1,x1≠x2,∴x2+x1-2＜0.因此f(x1)-f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2).于是,根据“三段论”,得f(x)=-x2+2x在(-∞,1］上是增函数.

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