题目

已知在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE,FE∶FD=4∶3.（1）求证：AF=DF；（2）求∠AED的余弦值；（3）如果BD=10，求△ABC的面积. 答案：思路解析：根据题中角的关系进行转化，可证得AF=DF.并由勾股定理、切割线定理计算.（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC.∵∠B=∠CAE，∴∠BAD+∠B=∠DAC+∠CAE.∵∠ADE=∠BAD+∠B，∴∠ADE=∠DAE.∴EA=ED.∵DE是半圆C的直径，∴∠DFE=90°.∴AF=DF.（2）解：连结DM，∵DE是半圆C的直径，∴∠DME=90°.∵FE∶FD=4∶3，∴可设FE=4x,则FD=3x.由勾股定理，得DE=5x.∴AE=DE=5x,AF=FD=3x.由切割线定理的推论，得AF·AD=AM·AE.∴3x(3x+3x)=AM·5x.∴AM=x.∴ME=AE-AM=5x-x=x.在Rt△DME中，cos∠AED==.（3）解：过A点作AN⊥BE于N，由cos∠AED=，得sin∠AED=.∴AN=,AE=x.在△CAE和△ABE中，∵∠CAE=∠B,∠AEC=∠BEA，∴△CAE∽△ABE.∴，即AE2=BE·CE.∴(5x)2=(10+5x)·x.解得x=2.∴AN=x=，BC=BD+DC=10+×2=15.∴S△ABC=BC·AN=×15×=72.

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