题目

抛物线x2=4y的焦点为F，过点（0，﹣1）作直线L交抛物线A、B两点，再以AF、BF为邻边作平行四边形FARB，试求动点R的轨迹方程，并说明曲线的类型． 答案：考点： 圆锥曲线的轨迹问题． 专题： 计算题． 分析： 设直线：AB：y=kx﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），R（x，y），求出F的坐标，利用AB和RF是平行四边形的对角线，对角线的中点坐标重合，直线与抛物线有两个交点，推出k的范围，整理出R的轨迹方程即可． 解答： 解：设直线：AB：y=kx﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），R（x，y），由题意F（0，1）． 由 y=kx﹣1，x2=4y， 可得x2=4kx﹣4． ∴x1+x2=4k． ∵AB和RF是平行四边形的对角线， ∴x1+x2=x，y1+y2=y+1． y1+y2=k（x1+x2）﹣2=4k2﹣2， ∴x=4k y=4k2﹣3，消去k，可得得x2=4（y+3）． 又∵直线和抛物线交于不同两点， ∴△=16k2﹣16＞0， |k|＞1 ∴|x|＞4 所以x2=4（y+3），（|x|＞4） 点评： 本题是中档题，考查曲线轨迹方程的求法，注意挖掘题目的条件，推出直线的斜率的范围（这是容易疏忽的地方），平行四边形的对角线的交点的特征，是解题的关键．

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