题目

如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE=∠C （1）求证：AE与⊙O相切于点A； （2）若AE∥BC，BC=2，AC=2，求AD的长． 答案：（1）证明见解析；（2）AD=2． 【解析】 （1）如图，连接OA，根据同圆的半径相等可得：∠D=∠DAO，由同弧所对的圆周角相等及已知得：∠BAE=∠DAO，再由直径所对的圆周角是直角得：∠BAD=90°，可得结论； （2）先证明OA⊥BC，由垂径定理得：，FB=BC，根据勾股定理计算AF、OB、AD的长即可． 【详解】 （1）如图，连接OA，交BC于F， 则OA=OB， ∴∠D=∠DAO， ∵∠D=∠C， ∴∠C=∠DAO， ∵∠BAE=∠C， ∴∠BAE=∠DAO， ∵BD是⊙O的直径， ∴∠BAD=90°， 即∠DAO+∠BAO=90°， ∴∠BAE+∠BAO=90°，即∠OAE=90°， ∴AE⊥OA， ∴AE与⊙O相切于点A； （2）∵AE∥BC，AE⊥OA， ∴OA⊥BC， ∴，FB=BC， ∴AB=AC， ∵BC=2，AC=2， ∴BF=，AB=2， 在Rt△ABF中，AF==1， 在Rt△OFB中，OB2=BF2+（OB﹣AF）2， ∴OB=4， ∴BD=8， ∴在Rt△ABD中，AD=． 【点睛】 本题考查了圆的切线的判定、勾股定理及垂径定理的应用，属于基础题，熟练掌握切线的判定方法是关键：有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径，证垂直”．

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