题目

在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象G经过点A（4，1），直线l：y＝+b与图象G交于点B，与y轴交于点C． （1）求k的值； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为W． ①当b＝﹣1时，直接写出区域W内的整点个数； ②若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围． 答案：解：（1）把A（4，1）代入y＝得k＝4×1＝4； （2）①当b＝﹣1时，直线解析式为y＝x﹣1， 解方程＝x﹣1得x1＝2﹣2（舍去），x2＝2+2，则B（2+2，）， 而C（0，﹣1）， 如图1所示，区域W内的整点有（1，0），（2，0），（3，0），有3个； ②如图2，直线l在OA的下方时，当直线l：y＝+b过（1，﹣1）时，b＝﹣， 且经过（5，0）， ∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围是﹣≤b＜﹣1． 如图3，直线l在OA的上方时， ∵点（2，2）在函数y＝（x＞0）的图象G， 当直线l：y＝+b过（1，2）时，b＝， 当直线l：y＝+b过（1，3）时，b＝， ∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围是＜b≤． 综上所述，区域W内恰有4个整点，b的取值范围是﹣≤b＜﹣1或＜b≤． 【点评】本题考查了新定义和反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，本题理解整点的定义是关键，并利用数形结合的思想．

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