题目

设a∈R,函数f(x)=3x3-4x+a+1.(1)求f(x)的单调区间;(2)若对于任意x∈［-2,0］,不等式f(x)≤0恒成立,求a的最大值;(3)若方程f(x)=0存在三个相异的实数根,求a的取值范围. 答案：解:(1)f(x)的导数f′(x)=9x2-4.令f′(x)＞0,解得x＞或x＜;令f′(x)＜0,解得＜x＜.从而f(x)的单调递增区间为(-∞,),(,+∞);单调递减区间为(,).(2)由f(x)≤0,得-a≥3x3-4x+1. 由(1)得,函数y=3x3-4x+1在(-2,)内单调递增,在(,0)内单调递减,从而当x=时,函数y=3x3-4x+1取得最大值. 因为对于任意x∈［-2,0］,不等式f(x)≤0恒成立,故-a≥,即a≤-,从而a的最大值是-. (3)当x变化时,f(x),f′(x)变化情况如下表:x(-∞,)(,)(,+∞)f′(x)+0-0+f(x)↗极大值a+↘极小值a↗①由f(x)的单调性,当极大值a+＜0或极小值a＞0时,方程f(x)=0最多有一个实数根;②当a=时,解方程f(x)=0,得x=,x=,即方程f(x)=0只有两个相异的实数根;③当a=时,解方程f(x)=0,得x=,x=,即方程f(x)=0只有两个相异的实数根.如果方程f(x)=0存在三个相异的实数根,则解得a∈(,).事实上,当a∈(,)时,∵f(-2)=-15+a＜-15+＜0,且f(2)=17+a＞17＞0,∴方程f(x)=0在(-2,),(,),(,2)内各有一根.综上,若方程f(x)=0存在三个相异的实数根,则a的取值范围是(,).

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