题目

交5元钱，可以参加一次摸奖。一袋中有同样大小的球10个，其中有8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和（设为ξ），求抽奖人获利的数学期望。 答案： 解： （1）证明：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系，设正方体的棱长为2a，则由条件可得 D(0,0,0), A(2a,0,0), C(0,2a,0), D1(0,0,2a), E(2a, 2a, a), F(0, a, 0)，A1(2a,0,2a) =（-2a,0,0）,  =(0, a, -2a),      ∴=-2a×0+0×a+0×(-2a)=0,        ∴，即。     （2）解：∵，=(0, a, -2a), ∴=0×0+2a×a+a×(-2a)=0            ∴cos<,>=,   即,的夹角为90°，所以直线AE与D1F所成的角为直角。 （3）证明：由（1）、（2）知D1F⊥AD，D1F⊥AE, 而AD∩AE=A，            ∴D1F⊥平面AED，                ∵D1F平面A1FD1，            ∴平面AED⊥平面A1FD1.    方法2（综合法） （1）证明：因为AC1是正方体，所以AD⊥面DC1。            又DF1DC1，所以AD⊥D1F.      （2）取AB中点G，连结A1G，FG，                 因为F是CD的中点，所以GF∥AD， 又A1D1∥AD，所以GF∥A1D1， 故四边形GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F。 设A1G与AE相交于H，则∠A1HA是AE与D1F所成的角。    因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌△ABE, ∠GA1A=∠GAH,从而∠A1HA=90°, 即直线AE与D1F所成的角为直角。                  （3）与上面解法相同。

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