题目

如图 Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P是斜边AC上一个动点，以BP为直径作⊙O交BC于点D，与AC的另一个交点E，连接DE． （1）当时，①若130°，求∠C的度数；②求证AB＝AP； （2）当AB＝15，BC＝20时， ①是否存在点P，使得△BDE是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的CP的长； ②以D为端点过P作射线DH，作点O关于DE的对称点Q恰好落在∠CPH内，则CP的取值范围为__________．（直接写出结果） 答案：【解析】（1）①连接BE，如图1所示： ∵BP是直径，∴∠BEC＝90°， ∵130°，∴50°， ∵，∴100°，∴∠CBE＝50°，∴∠C＝40°； ②证明：∵，∴∠CBP＝∠EBP， ∵∠ABE+∠A＝90°，∠C+∠A＝90°， ∴∠C＝∠ABE，∵∠APB＝∠CBP+∠C，∠ABP＝∠EBP+∠ABE， ∴∠APB＝∠ABP，∴AP＝AB； （2）解：①由AB＝15，BC＝20， 由勾股定理得：AC25， ∵， 连接DP，如图1﹣1所示： ∵BP是直径，∴∠PDB＝90°， ∵∠ABC＝90°，∴PD∥AB，∴△DCP∽△BCA， ∴， △BDE是等腰三角形，分三种情况： 当BD＝BE时，BD＝BE＝12， ∴； 当BD＝ED时，可知点D是Rt△CBE斜边的中线， ∴； 当DE＝BE时，作EH⊥BC，则H是BD中点，EH∥AB，如图1﹣2所示： AE9， ∴CE＝AC﹣AE＝25﹣9＝16，CH＝BC﹣BH＝20﹣BH， ∵EH∥AB，∴，即，解得：BH， ∴， ∴； 综上所述，△BDE是等腰三角形，符合条件的CP的长为10或或7； ②当点Q落在∠CPH的边PH上时，CP最小，如图2所示： 连接OD、OQ、OE、QE、BE， 由对称的性质得：DE垂直平分OQ，∴OD＝QD，OE＝QE， ∵OD＝OE，∴OD＝OE＝QD＝QE，∴四边形ODQE是菱形，∴PQ∥OE， ∵PB为直径，∴∠PDB＝90°，∴PD⊥BC， ∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，∴PD∥AB，∴DE∥AB， ∵OB＝OP，∴OE为△ABP中位线，∴PE＝AE＝9， ∴PC＝AC﹣PE﹣AE＝25﹣9﹣9＝7； 当点Q落在∠CPH的边PC上时，CP最大，如图3所示： 连接OD、OQ、OE、QD， 同理得：四边形ODQE是菱形，∴OD∥QE， 连接DF，∵∠DBC＝90°，∴DF是直径，∴D、O、F三点共线，∴DF∥AQ，∴∠OFB＝∠A， ∵OB＝OF，∴∠OFB＝∠OBF＝∠A，∴PA＝PB， ∵∠OBF+∠CBP＝∠A+∠C＝90°，∴∠CBP＝∠C， ∴PB＝PC＝PA，∴PCAC＝12.5，∴7＜CP＜12.5，故答案为：7＜CP＜12.5．

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