题目

如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB=AD=2，CD=4，将三角形ABD沿BD翻折，使面ABD⊥面BCD． （Ⅰ） 求线段AC的长度； （Ⅱ） 求证：AD⊥平面ABC． 答案：【考点】直线与平面垂直的判定． 【专题】证明题；数形结合；综合法；空间位置关系与距离；立体几何． 【分析】法一： （Ⅰ）取CD中点E，连接BE，推导出四边形ABDE为正方形，BD⊥BC，从而BC⊥面ABD，由此能求出线段AC的长度． （Ⅱ）由BC⊥面ABD，得BC⊥AD，又AB⊥AD，由此能证明AD⊥平面ABC． 法二： （Ⅰ）取CD中点E，连接BE，推导出四边形ABDE为正方形，BD⊥BC，取BD中点F，连接AF，CF，则AF⊥面BCD，由此能求出线段AC的长度． （Ⅱ）由勾股定理得AD⊥AC，又AB⊥AD，由此能证明AD⊥平面ABC． 【解答】解法一： 解：（Ⅰ）在梯形ABCD中， 取CD中点E，连接BE，因为AB⊥AD，AB=AD=2， 所以，又， 所以四边形ABDE为正方形，即有BE=2，BE⊥CD， 所以… 在△BCD中，，所以BD⊥BC， 翻折之后，仍有BD⊥BC… 又面ABD⊥面BCD，面ABD∩面BCD=BD，BC⊂面BCD，所以BC⊥面ABD… 又AB⊂面ABD，所以BC⊥AB… 所以… 证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知BC⊥面ABD，又AD⊂面ABD，所以BC⊥AD，… 又AB⊥AD，AB∩BC=B，所以AD⊥平面ABC．… 解法二： 解：（Ⅰ）在梯形ABCD中，取CD中点E，连接BE， 因为AB⊥AD，AB=AD=2，所以 又，所以四边形ABDE为正方形， 即有BE=2，BE⊥CD，所以… 在△BCD中，，所以BD⊥BC， 翻折之后，仍有BD⊥BC… 取BD中点F，连接AF，CF，则有BD⊥AF， 因为面ABD⊥面BCD，面ABD∩面BCD=BD，BD⊥AF，AF⊂面ABD， 所以AF⊥面BCD… 又CF⊂面BCD，AF⊥CF… 因为，， 所以．… 证明：（Ⅱ）在△ACD中，，CD=4，AD=2， AD2+AC2=CD2， 所以AD⊥AC… 又AB⊥AD，AB∩AC=A， 所以AD⊥平面ABC．… 【点评】本题考查线段长的求法，考查线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

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