题目

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式； （2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标； （3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 答案：解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3）， 即y=ax2﹣2ax﹣3a， ∴﹣2a=2，解得a=﹣1， ∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3； 当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3）， 设直线AC的解析式为y=px+q， 把A（﹣1，0），C（0，3）代入得，解得， ∴直线AC的解析式为y=3x+3； （2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点D的坐标为（1，4）， 作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0）， ∵MB=MB′， ∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小， 而BD的值不变， ∴此时△BDM的周长最小， 易得直线DB′的解析式为y=x+3， 当x=0时，y=x+3=3， ∴点M的坐标为（0，3）； （3）存在． 过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2， ∵直线AC的解析式为y=3x+3， ∴直线PC的解析式可设为y=﹣x+b， 把C（0，3）代入得b=3， ∴直线PC的解析式为y=﹣x+3， 解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，）； 过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b， 把A（﹣1，0）代入得+b=0，解得b=﹣， ∴直线PC的解析式为y=﹣x﹣， 解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，﹣）， 综上所述，符合条件的点P的坐标为（，）或（，﹣）， 　

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