题目

已知函数f（x）=（a≠0）． （I）试讨论y=f（x）的极值； （II）若a＞0，设g（x）=x2emx，且任意的x1，x2∈[0，2]，f（x1）﹣g（x2） ≥﹣1恒成立，求m的取值范围． 答案：解：（1）f′（x）=﹣， a＞0时，当x=﹣1时，f（x）的极小值为f（﹣1）=﹣， 当x=1时，f（x）的极大值为f（1）=， a＜0时，当x=﹣1时，f（x）的极大值为f（﹣1）=﹣， 当x=1时，f（x）的极小值为f（1）=； （2）方法一：由题意知，x1，x2∈[0，2]，f（x）min（x1）+1≥gmax（x2）， x1∈[0，2]，fmin（x1）+1=1， x∈[0，2]，x2emx≤1，m≤﹣，m≤{﹣}min，m≤﹣ln2，方法二：分类讨论 x1∈[0，2]，fmin（x1）+1=1，∴x∈[0，2]，gmax（x）≤1，g（x）=x2emx，g′（x）=emxx（mx+2）， 1）当m≥0时，g（x）在[0，2]上单调递增， gmax（x）=g（2）=4•e2m≤1，解得：m≤﹣ln2（舍）， 2）当﹣1＜m＜0时，g（x）在[0，2]上单调递增， gmax（x）=g（2）=4e2m≤1，解得：m≤﹣ln2， ∴﹣1＜m≤﹣ln2， 3）当m≤﹣1时，g（x）在[0，﹣]上单调递增，在[﹣，2]上单调递减， gmax（x）=g（﹣）=≤1，解得：m≤﹣，∴m≤﹣1，综合得：m≤﹣ln2．

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