题目

如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、P分别是BC、A1D1的中点，M、N分别是AE、CD1的中点，AD=AA1=a,AB=2a.(1)求证：MN∥面ADD1A1；(2)求二面角PA-E-D的余弦值. 答案：（1）证明:如图，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系.则A（a,0,0）,B(a,2a,0),C(0,2a,0),A1(a,0,a),D1(0,0,a).因为E、P、M、N分别为BC、A1D1、AE、CD1的中点,所以E（,2a,0）,P(,0,a),M(a,a,0),N(0,a,).=(-a,0,),取n=(0,1,0),显然n⊥平面ADD1A1.因为·n=0,所以⊥n.又MN平面ADD1A1，所以MN∥平面ADD1A1.（2）解：过P作PH⊥AE,交AE于H，取AD的中点F，则F（,0,0）,设H（x,y,0）,则=（-x,-y,a）,=(-x,-y,0).又=（-,2a,0）,由·=0，及H在直线AE上可得解得所以=（a,a）,=(a,0).所以·=0，即⊥.所以与所夹的角等于二面角P-AE-D的平面角,其余弦值为cos〈,〉=

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