题目

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y＝kx＋n(k≠0)经过B，C两点，已知A(1，0)，C(0，3)，且BC＝5. (1)分别求直线BC和抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 答案：【解答】(1)∵C(0，3)，即OC＝3，BC＝5，∴在Rt△BOC中，根据勾股定理得：OB＝＝4，即B(4，0)，把B与C坐标代入y＝kx＋n中，得：∴直线BC解析式为y＝－x＋3.由A(1，0)，B(4，0)，设抛物线解析式为y＝a(x－1)(x－4)，把C(0，3)代入得：a＝，则抛物线解析式为y＝x2－x＋3. (2)存在．如图所示，分两种情况考虑：∵抛物线解析式为y＝x2－x＋3，∴其对称轴为直线x＝.设点P坐标为(，y)，BC与对称轴交于点Q，可得Q点坐标(，)，同时可求得CQ＝，BQ＝.当P1C⊥CB时，△P1BC为直角三角形．P1C2＝()2＋(y－3)2，P1Q＝y－.∵P1Q2＝P1C2＋CQ2.解得y＝；当P2B⊥BC时，△BCP2为直角三角形．P2B2＝(4－)2＋y2，P2Q＝－y，∵P2Q2＝P2B2＋BQ2，解得y＝－2.综上所述，P1(，)或P2(，－2)．当点P为直角顶点时，设P(，y)，∵B(4，0)，C(0，3)，∴BC＝5，∴BC2＝PC2＋PB2，即25＝()2＋(y－3)2＋(－4)2＋y2，解得y＝，∴P3(，)，P4(，)．综上所述，P1(，)，P2(，－2)，P3(，)，P4(，)．

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