题目

已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax2＋2x(a≠0)． (1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围； (2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．  答案：.解 (1)h(x)＝ln x－ax2－2x，x∈(0，＋∞)， 所以h′(x)＝－ax－2，由于h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间， 所以当x∈(0，＋∞)时，－ax－2<0有解，     即a>－有解． 设G(x)＝－，所以只要a>G(x)min即可．   而G(x)＝2－1，所以G(x)min＝－1. 所以a>－1.      又因为a≠0，所以a的取值范围为(－1,0)∪(0，＋∞)． (2)因为h(x)在[1,4]上单调递减，    所以当x∈[1,4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立， 即a≥－恒成立．    由(1)知G(x)＝－， 所以a≥G(x)max，而G(x)＝2－1， 因为x∈[1,4]，所以∈，  所以G(x)max＝－(此时x＝4)， 所以a≥－，又因为a≠0，   所以a的取值范围是∪(0，＋∞)．  

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