题目

（21）设数列、、满足：，（n=1,2,3,…）， 证明为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1,2,3,…） 答案：(21)本小题主要考查等差数列、充要条件等基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．    证明：必要性.设{an}是公差为d1的等差数列，则    bn+1-bn=(an+1-an+3)-(an-an+2)=(an+1-an)-(an+3-an+2)=d1-d1=0，    所以bn≤bn+1(n=1，2，3，…)成立，    又cn+1-cn=(an+1-an)+2(an+2-an+1)+3(an+3-an+2)            =d1+2d1+3d1=6d1(常数)(n=1，2，3，…)，    所以数列{cn}为等差数列．    充分性．设数列{cn}是公差为d2的等差数列，且bn≤bn+1(n=1，2，3，…).     证法一：    ∵cn=an+2an+1+3an+2，                         ①    ∴cn+2=an+2+2an+3+3an+4.                        ②    ①-②得cn-cn+2=(an-an+2)+2(an+1-an+3)+3(an+2-an+4)                =bn+2bn+1+3bn+2.    ∵cn-cn+2=(cn-cn+1)+(cn+1-cn+2)=-2d2，    ∴bn+2bn+1+3bn+2=-2d2，                        ③    从而有    bn+1+2bn+2+3bn+3=-2d2．                        ④    ④-③得    (bn+1-bn)+2(bn+2-bn+1)+3(bn+3-bn+2)=0．            ⑤    ∵bn+1-bn≥0，bn+2-bn+1≥0，bn+3-bn+2≥0，    ∴由⑤得bn+1-bn=0(n=1，2，3，…)．    由此不妨设bn=d3(n=1，2，3，…)，则an-an+2=d3(常数)．    由此cn=an+2an+1+3an+2=4an+2an+1-3d3，    从而cn+1=4an+1+2an+2-3d3=4an+1+2an-5d3．    两式相减得cn+1-cn=2(an+1-an)-2d3，    因此an+1-an=(cn+1-cn)+d3=d2+d3(常数)(n=1，2，3，…)，    所以数列{an}是等差数列，    证法二：    令An=an+1-an，由bn≤bn+1知an-an+2≤an+1-an+3，    从而an+1-an≥an+3-an+2，即An≥An+2(n=1，2，3，…)．    由cn=an+2an+1+3an+2,cn+1=an+1+2an+2+3an+3得    cn+1-cn=(an+1-an)+2(an+2-an+1)+3(an+3-an+2)，即    An+2An+1+3An+2=d2．                           ⑥    由此得    An+2+2An+3+3An+4=d2.                           ⑦    ⑥-⑦得    (An-An+2)+2(An+1-An+3)+3(An+2-An+4)=0．           ⑧    因为An-An+2≥0，An+1-An+3≥0，An+2-An+4≥0，    所以由⑧得An-An+2=0(n=1，2，3，…).    于是由⑥得4An+2An+1=An+2An+1+3An+2=d2,                  ⑨从而2An+4An+1=4An+1+2An+2=d2.                 ⑩由⑨和⑩得4An+2An+1=2An+4An+1，故An+1=An，即an+2-an+1=an+1-an（n=1，2，3，…）,所以数列{an}是等差数列.

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