题目

已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145.(1)求数列{bn}的通项公式bn;(2)设数列{an}的通项an=loga(1+)(其中a＞0且a≠1)，记Sn是数列{an}的前n项和.试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论. 答案：(1)解：设数列{bn}的公差为d,由题意得∴bn=3n-2.(2)证明：由bn=3n-2知Sn=loga(1+1)+loga(1+)+…+loga(1+)=loga［(1+1)(1+)…+)］,而logabn+1=loga,于是，比较Sn与logabn+1的大小比较(1+1)(1+)…(1+)与的大小.取n=1，有(1+1)=；取n=2，有(1+1)(1+）＞.推测：(1+1)(1+)…(1+0＞①(Ⅰ)当n=1时，已验证①式成立.(Ⅱ)假设n=k(k≥1)时①式成立，即(1+1)(1+)…+)＞.则当n=k+1时，(1+1)(1+)…(1+)［1+］＞(1+)=.∵()3-()3=＞0,∴(3k+2)＞=.从而(1+1)(1+)…(1+)(1+)＞，即当n=k+1时，①式成立.由(Ⅰ)(Ⅱ)知，①式对任意正整数n都成立.于是，当a＞1时，Sn＞logabn+1,当0＜a＜1时，Sn＜logabn+1.

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