题目

（1）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m， CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE． （2）如图2，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中为任意锐角或钝角．请问结论“DE=BD+CE”是否成立?如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．   答案：证明：(1)∵BD⊥直线m，CE⊥直线m ∴∠BDA＝∠CEA=90°，∵∠BAC＝90° ∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90° ∴∠CAE=∠ABD，又AB=AC ，∴△ADB≌△CEA ∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD= BD+CE   ………………4分 (2)∵∠BDA =∠BAC=，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°— ∴∠DBA=∠CAE ，∵∠BDA=∠AEC=，AB=AC ∴△ADB≌△CEA，∴AE=BD，AD=CE ∴DE=AE+AD=BD+CE   ………………4分 （3）由（2）知，△ADB≌△CEA， BD=AE，∠DBA =∠CAE ∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60° ∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，∴∠DBF=∠FAE ∵BF=AF，∴△DBF≌△EAF ∴DF=EF，∠BFD=∠AFE ∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60° ∴△DEF为等边三角形.  

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