题目

设函数． （Ⅰ）若在x=处的切线与直线4x+y=0平行，求a的值； （Ⅱ）讨论函数的单调区间； （Ⅲ）若函数的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为，证明． 答案：解：（I）由题知f(x)=2ax2+(a+4)x+lnx的定义域为(0，+∞)， 且． 又∵ f(x)的图象在x=处的切线与直线4x+y=0平行， ∴ ， 解得  a=-6． （Ⅱ）， 由x>0，知>0． ①当a≥0时，对任意x>0，>0， ∴  此时函数f(x)的单调递增区间为(0，+∞)． ②当a<0时，令=0，解得， 当时，>0，当时，<0， 此时，函数f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，+∞)． （Ⅲ）不妨设A(，0)，B(，0)，且，由（Ⅱ）知 ， 于是要证<0成立，只需证：即． ∵，   ① ，  ② ①-②得， 即， ∴ ， 故只需证， 即证明， 即证明，变形为， 设，令， 则， 显然当t>0时，≥0，当且仅当t=1时，=0， ∴  g(t)在(0，+∞)上是增函数． 又∵ g(1)=0， ∴ 当t∈(0，1)时，g(t)<0总成立，命题得证．

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