题目

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2﹣8mx+4m+2（m＞2）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x1，0），C（x2，0），且x2﹣x1=4，直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值；（3）当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 答案：） 解：（1）由题意知x1、x2是方程mx2﹣8mx+4m+2=0的两根， ∴x1+x2=8， 由    解得： ∴B（2，0）、C（6，0）   则4m﹣16m+4m+2=0，  解得：m=， ∴该抛物线解析式为：y=；…………（2分） （2）可求得A（0，3）  设直线AC的解析式为：y=kx+b， ∵   ∴    ∴直线AC的解析式为：y=﹣x+3， 要构成△APC，显然t≠6，分两种情况讨论： ①当0＜t＜6时，设直线l与AC交点为F，则：F（t，﹣）， ∵P（t，），∴PF=，    ∴S△APC=S△APF+S△CPF = ==，   此时最大值为：，…………（5分） ②当6≤t≤8时，设直线l与AC交点为M，则：M（t，﹣）， ∵P（t，），∴PM=， ∴S△APC=S△APF﹣S△CPF= ==，    当t=8时，取最大值，最大值为：12， 综上可知，当0＜t≤8时，△APC面积的最大值为12；…………（8分） （3） ∴t=或t=或t=14．…………（11分）

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