题目

已知二次函数y＝mx2＋nx＋p图象的顶点横坐标是2，与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)，x1<0<x2，与y轴交于点C，O为坐标原点，tan∠CAO－tan∠CBO＝1. (1)求证：n＋4m＝0； (2)求m，n的值； (3)当p>0且二次函数图象与直线y＝x＋3仅有一个交点时，求二次函数的最大值． 答案： (1)证明：∵二次函数y＝mx2＋nx＋p图象的顶点横坐标是2， ∴抛物线的对称轴为x＝2，即－＝2， 化简，得n＋4m＝0. (2)解：∵二次函数y＝mx2＋nx＋p与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)，x1＜0＜x2， ∴OA＝－x1，OB＝x2，x1＋x2＝－，x1·x2＝. 令x＝0，得y＝p，∴C(0，p)．∴OC＝|p|. 由三角函数定义，得tan∠CAO＝＝－，tan∠CBO＝＝. ∵tan∠CAO－tan∠CBO＝1，即－－＝1. 化简，得＝. 将x1＋x2＝－，x1·x2＝代入，得化简，得⇒n＝＝±1. 由(1)知n＋4m＝0， ∴当n＝1时，m＝－；当n＝－1时，m＝. ∴m，n的值为：m＝，n＝－1(此时抛物线开口向上)或m＝－，n＝1(此时抛物线开口向下)． (3)解：由(2)知，当p＞0时，n＝1，m＝－， ∴抛物线解析式为：y＝－x2＋x＋p. 联立抛物线y＝－x2＋x＋p与直线y＝x＋3解析式得到－x2＋x＋p＝x＋3， 化简，得x2－4(p－3)＝0. ∵二次函数图象与直线y＝x＋3仅有一个交点， ∴一元二次方程根的判别式等于0， 即Δ＝02＋16(p－3)＝0，解得p＝3. ∴y＝－x2＋x＋3＝－(x－2)2＋4. 当x＝2时，二次函数有最大值，最大值为4.

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