题目

已知函数f(x)＝ax－－3ln x，其中a为常数． (1)当函数f(x)图象在点处的切线的斜率为1时，求函数f(x)在上的最小值； (2)若函数f(x)在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，求a的取值范围； (3)在(1)的条件下，过点P(1，－4)作函数F(x)＝x2[f(x)＋3ln x－3]图象的切线，试问这样的切线有几条？并求出这些切线方程． 答案：解：(1)由题可知f′(x)＝a＋，f ′＝1，解得a＝1. 故f(x)＝x－－3ln x，∴f ′(x)＝， 由f ′(x)＝0，得x＝2. 于是可得下表： x 2 (2,3) 3 f ′(x)   － 0 ＋ f(x)   ↘ 1－3ln 2 ↗ 于是可得：f(x)min＝f(2)＝1－3ln 2. (2)∵f ′(x)＝ (x>0) 由题可得方程ax2－3x＋2＝0有两个不等的正实根，不妨设这两个根为x1、x2，并令h(x)＝ax2－3x＋2 则 解得0<a<. (3)由(1)知f(x)＝x－－3ln x，故F(x)＝x3－3x2－2x(x>0)，F′(x)＝3x2－6x－2(x>0) 设切点为T(x0，y0)，由于点P在函数F(x)的图象上， ①当切点T不与点P(1，－4)重合，即当x0≠1时， 由于切线过点P(1，－4)，则＝3x－6x0－2 所以x－3x－2x0＋4＝(x0－1)(3x－6x0－2)， 化简得x－3x＋3x0－1＝0， 即(x0－1)3＝0，解得x0＝1(舍去)． ②当切点T与点P(1，－4)重合，即x0＝1时， 则切线的斜率k＝F′(1)＝－5，于是切线方程为5x＋y－1＝0. 综上所述，满足条件的切线只有一条，其方程为5x＋y－1＝0.

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