题目

如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的处恰有一可旋转光源满足甲水果生长的需要，该光源照射范围是,点在直径上，且． （1）若，求的长； （2）设, 求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积． 答案： . （1）连结，已知点在以为直径的半圆周上，所以为直角三角形， 因为，，所以，，………………… 2分 在中由余弦定理，且，所以，解得或，………………… 4分 （2）因为，，所以，  ………………… 6分 所以， 在中由正弦定理得，所以，…………8分 在中，由正弦定理得：，所以 ，…………… 10分 若产生最大经济效益，则的面积最大， ，………………… 12分 因为，所以. 所以当时，取最大值为，此时该地块产生的经济价值最大．………………… 14分

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