题目

O 为数轴的原点，点 A 、 B 在数轴上表示的数分别为 a 、 b ，且满足（ a ﹣ 20 ） 2 +|b+10| ＝ 0 ． （ 1 ）写出 a 、 b 的值； （ 2 ） P 是 A 右侧数轴上的一点， M 是 AP 的中点．设 P 表示的数为 x ，求点 M 、 B 之间的距离； （ 3 ）若点 C 从原点出发以 3 个单位 / 秒的速度向点 A 运动，同时点 D 从原点出发以 2 个单位 / 秒的速度向点 B 运动，当到达 A 点或 B 点后立即以原来的速度向相反的方向运动，直到 C 点到达 B 点或 D 点到达 A 点时运动停止，求几秒后 C 、 D 两点相距 5 个单位长度？ 答案： （ 1 ） a ＝ 20 ， b ＝﹣ 10 ；（ 2 ） 20+ ；（ 3 ） 1 秒、 11 秒或 13 秒后， C 、 D 两点相距 5 个单位长度 【分析】 （ 1 ）利用绝对值及偶次方的非负性，可求出 a ， b 的值； （ 2 ）由点 A ， P 表示的数可找出点 M 表示的数，再结合点 B 表示的数可求出点 M 、 B 之间的距离； （ 3 ）当 0≤t≤ 时，点 C 表示的数为 3t ，当 ＜ t≤ 时，点 C 表示的数为 20 ﹣ 3 （ t ﹣ ）＝ 40 ﹣ 3t ；当 0≤t≤5 时，点 D 表示的数为﹣ 2t ，当 5 ＜ t≤20 时，点 D 表示的数为﹣ 10+2 （ t ﹣ 5 ）＝ 2t ﹣ 20 ．分 0≤t≤5 ， 5 ＜ t≤ 及 ＜ t≤ ，三种情况，利用 CD ＝ 5 可得出关于 x 的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】 解：（ 1 ） ∵ （ a ﹣ 20 ） 2 +|b+10| ＝ 0 ， ∴a ﹣ 20 ＝ 0 ， b+10 ＝ 0 ， ∴a ＝ 20 ， b ＝﹣ 10 ． （ 2 ） ∵ 设 P 表示的数为 x ，点 A 表示的数为 20 ， M 是 AP 的中点． ∴ 点 M 表示的数为 ． 又 ∵ 点 B 表示的数为﹣ 10 ， ∴BM ＝ ﹣（﹣ 10 ）＝ 20+ ． （ 3 ）当 0≤t≤ 时，点 C 表示的数为 3t ； 当 ＜ t≤ 时，点 C 表示的数为： 20 ﹣ 3 （ t ﹣ ）＝ 40 ﹣ 3t ； 当 0≤t≤5 时，点 D 表示的数为﹣ 2t ； 当 5 ＜ t≤20 时，点 D 表示的数为：﹣ 10+2 （ t ﹣ 5 ）＝ 2t ﹣ 20 ． 当 0≤t≤5 时， CD ＝ 3t ﹣（﹣ 2t ）＝ 5 ， 解得： t ＝ 1 ； 当 5 ＜ t≤ 时， CD ＝ 3t ﹣（ 2t ﹣ 20 ）＝ 5 ， 解得： t ＝﹣ 15 （舍去）； 当 ＜ t≤ 时， CD ＝ |40 ﹣ 3t ﹣（ 2t ﹣ 20 ） | ＝ 5 ， 即 60 ﹣ 5t ＝ 5 或 60 ﹣ 5t ＝﹣ 5 ， 解得： t ＝ 11 或 t ＝ 13 ． 答： 1 秒、 11 秒或 13 秒后， C 、 D 两点相距 5 个单位长度． 【点睛】 本题考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值及偶次方的非负性，解题的关键是：（ 1 ）利用绝对值及偶次方的非负性，求出 a ， b 的值；（ 2 ）根据各点之间的关系，用含 x 的代数式表示出 BM 的长；（ 3 ）找准等量关系，正确列出一元一次方程．

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